ဂဏန်းများရဲ့ ဒဏ္ဍာရီ

ကျောက်ခေတ်လူသားတွေ အတွက်တော့ ကိန်းဂဏန်း ဆိုတာ လူဘယ်နှစ်ယောက် ရှိသလဲ ၊ မြှားဘယ်နှစ်ချောင်း ရှိသလဲ ၊ ကျွဲနွား ဘယ်နှစ်ကောင် ရှိသလဲ ဆိုတာ တွေကို ရေတွက်ဖို့ထက် မပိုပါဘူး။ ကိန်းဂဏန်း ဆိုတာ ရေတွက်ဖို့ သက်သက်ပဲ လိုအပ်တဲ့ အတွက် ၁၊ ၂၊ ၃၊ ၄ စတဲ့ ကိန်းပြည့်ဂဏန်းတွေက သူတို့အတွက် လုံလောက် ပါတယ်။ နွားဆိုတာ နှစ်ကောင်ခွဲ ရှိတယ်တို့ သုံးကောင်နဲ့ တစိတ် ရှိတယ် တို့ ဆိုတာမျိုး ရေတွက်စရာ မလိုဘူး မဟုတ်လား။ အဲဒီအတွက် အပိုင်းဂဏန်းတို့ အနှုတ်ဂဏန်း တို့ ဆိုတာတွေ ကျောက်ခေတ်မှာ မသုံးခဲ့ဘူးလို့ ယူဆရပါတယ်။

ဒါပေမယ့် လူသားတွေရဲ့ ယဉ်ကျေးမှု တဖြည်းဖြည်း တိုးတက်လာပြီး စိုက်ပျိုးမွေးမြူရေးတွေ၊ ရောင်းဝယ် ဖောက်ကားမှုတွေ ထွန်းကားလာတဲ့ အချိန်မှာတော့ အပိုင်းဂဏန်းဆိုတာ စပြီး လိုအပ်လာပါတယ်။ ထောပတ်၊ ဆန်စပါး စတာတွေရဲ့ အလေးချိန်၊လယ်ကွက်တစ်ခုရဲ့ အလျားဆိုတာတွေကို ပြဖို့အတွက် ကိန်းပြည့် တစ်မျိုးတည်းနဲ့ မလုံလောက် တော့ပါဘူး။ ထောပတ်ဆိုတာမျိုးတွေက နှစ်ပေါင် သုံးပေါင် တင် မဟုတ်ဘဲ နှစ်ပေါင်ခွဲ၊ သုံးပေါင်နဲ့ တစ်စိတ် စတာမျိုးတွေ  ဖြစ်နိုင်တယ် ဆိုတော့ အဲဒီ အချိန်မှာ လူတွေ အပိုင်းဂဏန်းကို စပြီး သုံးလာကြပါတယ်။ အဲဒီတုန်းက ဘေဘီလုံလို့ ခေါ်ပြီး အခုအီရတ်နိုင်ငံ နေရာမှာ ရှိတဲ့ ဘေဘီလုံ လူမျိုးတွေ၊ အီဂျစ်လူမျိုးတွေက အပိုင်းဂဏန်းတွေကို သုံးပြီး တွက်ချက်တတ် ကြပါတယ်။

အပိုင်းဂဏန်း ဆိုတာကလည်း ကိန်းပြည့်ကို အပိုင်းပိုင်းထားတာပါပဲ။ အပိုင်းဂဏန်းနဲ့ ပြလို့မရတဲ့ ဂဏန်းတွေ ရှိတယ် ဆိုတာကို သင်္ချာပညာရှင် ပိုက်သာဂိုရပ်စ်က စပြီး တွေ့ရှိခဲ့ပါတယ်။ ဥပမာအားဖြင့် စတုရန်း တစ်ခုရဲ့ ဒေါင့်ဖြတ်မျဉ်း ဘယ်လောက်ရှည်တယ် ဆိုတာ ပြချင်ရင် ကိန်းပြည့်တို့ အပိုင်းကိန်းတို့ စတာတွေနဲ့ ပြလို့ မရတော့ပါဘူး။ ဥပမာ √2 လို ဂဏန်းမျိုးကို အပိုင်းကိန်းနဲ့ ပြလို့ မရပါဘူး။ အဲဒီအခါမှာ အီရာရှင်နယ် (irrational) ကိန်း ဆိုတဲ့ ကိန်းတစ်မျိုးနဲ့ ပြမှ ရတယ် ဆိုတာ ကို တွေ့ခဲ့ပါတယ်။ စကြာဝဠာထဲမှာ ရှိတဲ့ အရာတွေ အားလုံးရဲ့ အနှစ်သာရဟာ ဂဏန်းသင်္ချာမှာ ရှိတယ်လို့ ယုံကြည်ခဲ့တဲ့ ပိုက်သာဂိုရပ်စ်ဟာ သူ့ရဲ့ ရှာဖွေတွေ့ရှိမှုကို အလွန်ကြီးကျယ်တဲ့ ရှာဖွေတွေ့ရှိမှု တစ်ခု အနေနဲ့ မှတ်ယူခဲ့ပါတယ်။ အဲဒီ အကြောင်းကို လျို့ဝှက်ချက် အနေနဲ့ ထားရှိခဲ့ပြီး သူ့ရဲ့ နောက်လိုက် နောက်ပါတွေ အားလုံးကို ဒီရှာဖွေတွေ့ရှိမှုနဲ့ ပတ်သက်ပြီး လျို့ဝှက်ထားဖို့ ကျိန်ဆိုခိုင်းခဲ့ပါတယ်။ အီရာရှင်နယ် ကိန်းအကြောင်း ထုတ်ပြောတဲ့သူကို သတ်ပစ်မယ် ဆိုတဲ့ အထိ ပြောခဲ့ပါတယ်။ ဒက်စ်ကရေးတီးရဲ့ လက်ထက်ရောက်မှ လူတွေ အားလုံး အီရာရှင်နယ် ဂဏန်း အကြောင်းကို ကောင်းကောင်း သိလာခဲ့ကြ ပါတယ်။

အီရာရှင်နယ် ကိန်းတွေ ပေါ်လာတဲ့ အချိန် အထိ အပေါင်းကိန်း တွေပဲ ရှိပါတယ်။ အနှုတ်ကိန်းဆိုတာ မရှိသေးပါဘူး။ ရေတွက်ရုံ တွက်ချက်ရုံတွက် အနှုတ်ကိန်းဆိုတာက မလိုအပ်ပါဘူး။ အဲဒီအတွက် ကိန်းပြည့်တွေ၊ အပိုင်းကိန်းတွေ၊ အီရာရှင်နယ် ကိန်းတွေ အားလုံးဟာ အပေါင်းကိန်းတွေပဲ ဖြစ်နေလေ့ ရှိပါတယ်။ အလယ်ခေတ် လို့ခေါ်တဲ့ ၁၁ ရာစု ဝန်းကျင်က ဟိန္ဒူတွေကတော့ အနှုတ်လက္ခဏာကိန်းကို စတင်ပြီး အသုံးပြုနေကြပါပြီ။ အရှေ့တိုင်းက ဗတ်ရှ်ကာ တို့လို ဟိန္ဒူပညာရှင် တွေက အနှုတ်ကိန်းတွေကို အသုံးပြုပြီး တွက်ချက်တဲ့ ကိစ္စတွေကို ပြုလုပ်ခဲ့ကြောင်း တွေ့ရပါတယ်။ အနောက်တိုင်း မှာတော့ အနှုတ်ကိန်း ဆိုတာက လိုအပ်ချက် အရ ထွက်ပေါ် လာခဲ့ ရတာပါ။ ရီနေဆွန်းခေတ်လို့ ခေါ်တဲ့ ၁၅ ရာစုလောက်မှာ ဗင်းနစ်တို့၊ ဖလော့ရင့် တို့လို အီတလီ မြို့ကြီးတွေမှာ ဘဏ်လုပ်ငန်းတွေ စတင် ထွက်ပေါ်လာပါတယ်။ ဘဏ်လုပ်ငန်း စတင်ထွက်ပေါ်လာတော့ ငွေချေးစနစ် ဆိုတာ ပေါ်ပေါက်လာပါတယ်။ ကုန်သည်တစ်ယောက် အနေနဲ့ ဘဏ်မှာ ရွှေချောင်း ၅ ချောင်း အပ်ပေမယ့် စီးပွားရေး လိုအပ်ချက်အရ ၂ ချောင်းကို ဘဏ်က ထပ်ချေးပြီး ၇ ချောင်း ပြန်ထုတ်တာလည်း ဖြစ်နိုင်ပါတယ်။ အဲဒီတော့ သူ့ရဲ့ ဘဏ်စာရင်းမှာ အကြွေးတင်နေတယ် ဆိုတာကို ပြဖို့အတွက် အနှုတ်ဂဏန်းဆိုတာ သုံးဖို့ လိုအပ်လာပါတယ်။

ကိန်းပြည့်၊ အပိုင်းကိန်း၊ အီရာရှင်နယ်ကိန်း၊ အနှုတ်ကိန်း စတာတွေကို ကိန်းစစ် (real number) တွေလို့ ခေါ်လေ့ ရှိကြပါတယ်။ ကိန်းစစ် ဆိုတာ ရှိရင် ကိန်းမှာ ရော အင် ရှိသလား မေးစရာ ရှိပါတယ်။ ဟုတ်ပါတယ်။ ကိန်းတွေမှာလည်း အင် ရှိလို့ ကိန်းစစ်ဆိုတာ ပေါ်လာတာပါ။ ဒါပေမယ့် အဲဒီအင်က အင်္ဂုလိ တော့ မဟုတ်ပါဘူး။ အင်မေဂျင်နရီကိန်း (Imaginary Number) ဒါမှမဟုတ်ရင် စိတ်ကူးယဉ်ကိန်းလို့ ခေါ်ကြပါတယ်။ အင်မေဂျင်နရီကိန်း ဖြစ်လာတဲ့ ဇာတ်လမ်းက ဒီလို စပါတယ်။

သင်္ချာပညာရှင်တွေ အနေနဲ့ ညီမျှခြင်းတွေကို ရှင်းရင်း တစ်ခါတစ်လေမှာ √-1 လို ဂဏန်းမျိုးတွေ ရလာတတ်ပါတယ်။ ဥပမာအားဖြင့် x²+1 = 0  ဆိုတဲ့ ညီမျှခြင်းမျိုးကို ရှင်းရင် x ရဲ့ တန်ဖိုးဟာ √-1 ဖြစ်နေပါတယ်။ အစကတော့ √-1 ဆိုတဲ့ ဂဏန်းဟာ သင်္ချာ ပညာရှင်တွေ အတွက် ဘယ်လိုမှ မဖြစ်နိုင်တဲ့ ဂဏန်းလို့ သတ်မှတ်ပြီး တွက်ချက်မှု တွေကို အဲဒီနေရာမှာ အဆုံးသတ်ခဲ့ကြ ပါတယ်။ ဒါပေမယ့် ဂျာမန် သင်္ချာပညာရှင် ဂေါ့စ် (Gauss) တို့ ဆွစ်လူမျိုး သင်္ချာပညာရှင် လီယိုနတ် အွိုင်လာ (Euler)တို့ကတော့ အဲဒီနေရာမှာတင် မကျေနပ်ကြပါဘူး။ အဲဒါကြောင့် √-1 ကို ဂဏန်းတစ်လုံးနဲ့ ခဏ အစားထိုးပြီး တွက်ချက် ကြည့်တဲ့အခါမှာ ဖြေရှင်းလို့မရနိုင်တဲ့ ညီမျှခြင်း တစ်ချို့ကို ဖြေရှင်းလို့ ရသွားတာကို တွေ့ရပါတယ်။ အဲဒီကနေ √-1  ကို အင်မေဂျင်နရီကိန်း အနေနဲ့  i လို့ သတ်မှတ်ပြီး တွက်ချက်တဲ့ ကွန်ပလက်စ်ကိန်း (Complex Number)  ဆိုတာ ထွက်ပေါ်လာခဲ့ ပါတယ်။ အင်ဂျင်နီယာတွေ အတွက်ကတော့ i ဆိုတာ လျှပ်စီးလမ်းကြောင်းကို ဖော်ပြတဲ့ သင်္ကေတ အဖြစ် နေရာတစ်ကာမှာ သုံးလေ့ ရှိတာကြောင့် i အစား j ဆိုတဲ့ ကိန်းကို ပြောင်းသုံးခဲ့ကြ ပါတယ်။ အဲဒီလိုနဲ့1 + 2j ၊ 3 + 4j အစရှိတဲ့ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတွေ ပေါ်ပေါက် လာခဲ့ကြ ပါတယ်။ အင်ဂျင်နီယာနဲ့ နည်းပညာဆိုင်ရာ ပြသနာတွေကို ဖြေရှင်းတဲ့ နေရာမှာ ပိုပြီး လွယ်ကူလာပါတယ်။

ကိန်းဂဏန်းတွေ အကြောင်းပြောရင်း  ဂျီစီအီး ကျူရှင် တက်တုန်းက သင်္ချာဆရာ ဦးစိုးနိုင် ပြောပြဖူးတဲ့ ဒဿမကိန်း အကြောင်းကလေး တစ်ခုကို အမှတ်ရ မိပါတယ်။ အရင်က ကွန်ပျူတာတွေကို အခုလောက် တွင်တွင်ကျယ်ကျယ် မသုံးကြသေးတာမို့ ဒဿမကိန်းတွေ ရှည်လျားလာရင် တွက်ရချက်ရ လွယ်ကူအောင် သုညအနောက် ဂဏန်း ၃ ခု ၊ ၄ခု စတဲ့ နေရာတွေမှာ ဖြတ်ပစ် တတ်ကြတဲ့ ထုံးစံ ရှိပါတယ်။ လကမ္ဘာပေါ်ကို ဂြိုဟ်တု လွတ်တော့ ဂြိုဟ်တုလမ်းကြောင်းကို တွက်ချက်တဲ့ ပညာရှင်တွေက ဒဿမကိန်းကို သုညရဲ့ နောက် ၂၇ လုံးမြောက်မှာ ဖြတ်လိုက်တယ်လို့ ဆိုပါတယ်။ အဲဒီလို ဒဿမ ၂၇ လုံး ဖြတ်ပစ်လိုက်တဲ့ အတွက် လကမ္ဘာပေါ်ကို တကယ် ဂြိုဟ်တု ရောက်သွားတဲ့ အချိန်မှာ သူတို့ မူလ တွက်ချက် ထားတဲ့ လမ်းကြောင်းကနေ သွေဖည်ပြီး မိုင်ပေါင်း ထောင်ပေါင်းများစွာ ဝေးတဲ့ နေရာမှာ ဂြိုဟ်တုက ရောက်သွားတယ်လို့ ဆိုပါတယ်။ ဂဏန်းက သေးသေးလေးပေမယ့် မိုင်ပေါင်း သိန်းချီတဲ့ အကွာအဝေးကို တွက်ချက်ရတဲ့ အခါမှာ ထောင်ဂဏန်းနဲ့ ချီပြီး ကွာသွားရတာပါ။

တစ်ခါက ကွန်ပျူတာ စနစ်အကြောင်း သင်တဲ့ လက်ချာတစ်ခုမှာ ဆရာ တစ်ယောက်က မေးဖူးပါတယ်။ လူတွေဟာ ကိန်းဂဏန်းတွေကို ရေတွက်ရင် ဘာဖြစ်လို့ အခြေ ၁၀ (base 10) ထားပြီး ဒက်ဆီမယ်ကိန်း (Decimal Number) အနေနဲ့ရေတွက်ကြတာလဲ ဆိုတဲ့ မေးခွန်းပါ။ ဘာဖြစ်လို့ ၉ ပြီးရင် ၁၀ ဖြစ်ရတာလဲ။ ၁၉ ပြီးရင် ၂၀ ဖြစ်ရတာလဲ။ ဘာဖြစ်လို့ ၇ ပြီးရင် ၁၀၊ ၁၇ ပြီးရင် ၂၀ စတာမျိုး ရေတွက်တဲ့အခြေ ၈ ဂဏန်း စတာမျိုးတွေကို မသုံးရတာလဲ ဆိုတဲ့ အဓိပ္ပာယ်ပါ။ ကြံကြံဖန်ဖန် ကတ်သီးကတ်သတ် တွေးတယ် ပြောရင်လည်း ပြောစရာပါပဲ။ ဒါပေမယ့် အီလက်ထရွန်းနစ်နဲ့ ကွန်ပျူတာ သမားတွေ အတွက်တော့ ဆားကစ်သုံးတဲ့ တွက်ချက်မှုတွေမှာ ဒက်ဆီမယ်သာ မကဘဲ အခြေ ၂ ရှိတဲ့ binary၊ အခြေ ၈ ရှိတဲ့ octal၊ အခြေ ၁၆ရှိတဲ့ Hexadecimal စတဲ့ ဂဏန်းတွေကို အမြဲ သုံးရလေ့ ရှိပါတယ်။ အဲဒီတော့ သူမေးတဲ့ မေးခွန်းက ကတ်သီးကတ်သတ် မဟုတ်ဘဲ စဉ်းစားစရာလို့ ပြောနိုင်ပါတယ်။ ဒါပေမယ့်လည်း သူပေးတဲ့ အဖြေကတော့ ရှင်းရှင်းလေး ပါပဲ။ လူတွေမှာ လက်က ဆယ်ချောင်း ရှိတဲ့ အတွက် ကိန်းဂဏန်းတွေကို ရေတွက်တဲ့ အခါမှာ အခြေ၁၀ ကို သုံးလေ့ရှိတာ ဖြစ်ပါတယ်တဲ့။ အကယ်၍ လူတွေမှာသာ လက် ၈ ချောင်းပဲ ရှိခဲ့ရင်တော့ ကျွန်တော်တို့ အခြေ ၈ နဲ့ ဇာတ်လမ်း ပြတ်သွားနိုင်ပါတယ်။ အဲဒါဆိုရင် ကိုးနဝင်းလည်း မိုးလင်းနိုင်တော့မှာ မဟုတ်ဘူးလို့ပဲ တွေးမိပါတော့တယ်။

ကိုးကား။ ။ Signal Processing & Linear System By B.P. Lathi